Oliveira, J. P. (1998). Teoria analítica da música do século XX. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
Tendo por base a referência bibliográfica em epígrafe, a seguir se publica um glossário com um conjunto de conceitos chave a conhecer no âmbito do estudo desta temática relativamente aos conjuntos não-ordenados:
CARDINAL »»» O número de elementos de um conjunto. O cardinal de um conjunto K é simbolizado por #(K). Se K tiver 5 elementos, então #(K)=5.
CLASSE DE ALTURA »»» Representação numérica de uma nota inserida no sistema de módulo doze. Quaisquer notas separadas por doze, ou múltiplos de doze meios-tons, pertencem à mesma classe de altura. Desta forma, no sistema temperado só existem doze classes de altura representadas pelos números inteiros entre 0 e 11, sendo normalmente associado ao número 0 a representação da nota dó, ao número 1 a representação de dó#, ao número 2 a representação de ré, etc..
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA »»» Define-se no espaço musical como uma relação binária de equivalência que o particiona em subconjuntos disjuntos, sendo uma consequência direta do estabelecimento de uma relação de equivalência de oitava, representada no nosso modelo matemático pelo módulo doze.
CLASSE DE INTERVALO »»» Corresponde aos intervalos não orientados existentes no sistema modular definido -- no nosso caso, de módulo doze --, sendo os mesmos definidos pela distância intervalar mais curta existente entre cada uma das doze classes de altura definidas no sistema cromático temperado. Assim, as classes de intervalo definidas nestas condições são: |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, e |6|. Desta forma, constata-se que a distância intervalar entre duas notas musicais pode ser definida de quatro formas distintas: intervalo orientado entre alturas, intervalo não orientado entre alturas, intervalo orientado entre classes de altura, e intercalo não orientado entre classes de altura, sendo esta última forma correspondente à noção de classe de intervalo.
COMPLEMENTAR MODULO N »»» O intervalo que, somado a outro intervalo, dá como resultado n. Matematicamente esta noção é também conhecida pela noção de segundo complemento, sendo muito utilizada para representar números negativos em aritmética binária (base de dois).
CONJUNTO COMPLEMENTAR »»» O conjunto complementar do conjunto K é constituído pelos elementos pertencentes ao conjunto universal S que são excluídos de K.
CONJUNTO NÃO-ORDENADO »»» Coleção de elementos (alturas ou classes de altura) cuja distribuição espacial e/ou temporal não é tomada em consideração.
CONJUNTO-CLASSE »»» Uma coleção de conjuntos relacionados entre si por um operador de transposição e/ou inversão. A estrutura intervalar de qualquer conjunto-membro de um conjunto-classe é sempre igual.
CONJUNTOS Z-RELACIONADOS »»» São conjuntos que embora contendo o mesmo conteúdo intervalar, não são transposição e/ou inversão um do outro.
FORMA NORMAL »»» Ordenação dos elementos (classes de altura) de um conjunto, em ordem ascendente, formando o menor intervalo entre o primeiro e o último elementos, entre o primeiro e o penúltimo, entre o primeiro e o antepenúltimo, etc.. Se existem várias ordenações nas quais se verificam estes critérios, a forma normal será aquela que começa pela classe de altura menor. A forma normal de um conjunto é habitualmente indicada com chavetas. Assim, a forma normal do conjunto A = (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11) é A = {11, 0, 2, 4, 5, 7, 9}.
FORMA PRIMÁRIA »»» Membro de um conjunto classe que o representa simbolicamente. A forma primária é escolhida entre as 24 formas normais (considerando as doze transposições acrescidas das doze transposições da sua inversão de eixo zero) dos conjuntos membros que pertencem a esse conjunto-classe, sendo aquela que começa pelo elemento 0 e tem o intervalo mais pequeno entre os seus dois primeiros elementos. Por exemplo, o conjunto-classe ao qual o acorde perfeito maior pertence tem dois conjuntos-membros começando por 0: (0, 3, 7) e (0, 4, 7). Porém, a sua forma primária será [0, 3, 7] uma vez que só assim se obterá o menor intervalo entre os seus dois primeiros elementos. A forma primária é habitualmente indicada entre parêntesis retos.
GRAU DE SIMETRIA »»» O grau de simetria de um conjunto indica o número de operadores de transposição e/ou inversão que transformam esse mesmo conjunto em si próprio.
GRUPO CANÔNICO DE OPERADORES »»» Conjunto de operadores que transformam um conjunto de elementos noutro conjunto de elementos, estruturalmente equivalentes entre si.
INTERVALO-CLASSE »»» É o intervalo mais pequenos existente entre duas classes de altura, independentemente de qual delas é a mais aguda e qual a mais grave. Por exemplo, o intervalo-classe entre dó e sol é |5| (i.e., de quarta perfeita), pois esta é a distância mais curta entre estas duas notas.
INTERVALO ORIENTADO »»» Intervalo entre dois elementos, com um sentido específico (do grave para o agudo ou do agudo para o grave). O intervalo orientado ascendente entre sol e dó é 5, sendo que o intervalo orientado descendente entre dó e sol é de -5.
INVARIÂNCIA »»» Um ou mais elementos são invariantes quando permanecem inalterados após a aplicação de uma transformação ao conjunto que os contém, ou seja, as invariâncias são os elementos comuns entre dois conjuntos relacionados por um operador. As invariâncias mais comuns verificam-se com os operadores de transposição e inversão.
OPERADOR »»» Aplicação que transforma um elemento ou conjunto de elementos. Os principais operadores nos conjuntos não ordenados são a transposição, a inversão e a multiplicação. Os operadores podem ser ainda compostos se resultantes da combinação de dois ou mais operadores.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA »»» Corresponde à equivalência de oitava, sendo no sistema numérico utilizado, representada matematicamente pelo módulo doze, i.e., resto da divisão inteira por doze quando se trate de números positivos, sendo os números negativos previamente convertidos no seu segundo complemento matemático.
VETOR INTERVALAR »»» É uma listagem do número de vezes que cada intervalo-base aparece entre os diversos elementos de um conjunto. Este vetor tem seis entradas, indicando, da esquerda para a direita, o número de vezes que os intervalos-classe |1| a |6| surgem no conjunto considerado. Este vetor intervalar consta das tabelas relativas às formas primárias existentes, também conhecidas como tabelas de Forte.
CLASSE DE ALTURA »»» Representação numérica de uma nota inserida no sistema de módulo doze. Quaisquer notas separadas por doze, ou múltiplos de doze meios-tons, pertencem à mesma classe de altura. Desta forma, no sistema temperado só existem doze classes de altura representadas pelos números inteiros entre 0 e 11, sendo normalmente associado ao número 0 a representação da nota dó, ao número 1 a representação de dó#, ao número 2 a representação de ré, etc..
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA »»» Define-se no espaço musical como uma relação binária de equivalência que o particiona em subconjuntos disjuntos, sendo uma consequência direta do estabelecimento de uma relação de equivalência de oitava, representada no nosso modelo matemático pelo módulo doze.
CLASSE DE INTERVALO »»» Corresponde aos intervalos não orientados existentes no sistema modular definido -- no nosso caso, de módulo doze --, sendo os mesmos definidos pela distância intervalar mais curta existente entre cada uma das doze classes de altura definidas no sistema cromático temperado. Assim, as classes de intervalo definidas nestas condições são: |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, e |6|. Desta forma, constata-se que a distância intervalar entre duas notas musicais pode ser definida de quatro formas distintas: intervalo orientado entre alturas, intervalo não orientado entre alturas, intervalo orientado entre classes de altura, e intercalo não orientado entre classes de altura, sendo esta última forma correspondente à noção de classe de intervalo.
COMPLEMENTAR MODULO N »»» O intervalo que, somado a outro intervalo, dá como resultado n. Matematicamente esta noção é também conhecida pela noção de segundo complemento, sendo muito utilizada para representar números negativos em aritmética binária (base de dois).
CONJUNTO COMPLEMENTAR »»» O conjunto complementar do conjunto K é constituído pelos elementos pertencentes ao conjunto universal S que são excluídos de K.
CONJUNTO NÃO-ORDENADO »»» Coleção de elementos (alturas ou classes de altura) cuja distribuição espacial e/ou temporal não é tomada em consideração.
CONJUNTO-CLASSE »»» Uma coleção de conjuntos relacionados entre si por um operador de transposição e/ou inversão. A estrutura intervalar de qualquer conjunto-membro de um conjunto-classe é sempre igual.
CONJUNTOS Z-RELACIONADOS »»» São conjuntos que embora contendo o mesmo conteúdo intervalar, não são transposição e/ou inversão um do outro.
FORMA NORMAL »»» Ordenação dos elementos (classes de altura) de um conjunto, em ordem ascendente, formando o menor intervalo entre o primeiro e o último elementos, entre o primeiro e o penúltimo, entre o primeiro e o antepenúltimo, etc.. Se existem várias ordenações nas quais se verificam estes critérios, a forma normal será aquela que começa pela classe de altura menor. A forma normal de um conjunto é habitualmente indicada com chavetas. Assim, a forma normal do conjunto A = (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11) é A = {11, 0, 2, 4, 5, 7, 9}.
FORMA PRIMÁRIA »»» Membro de um conjunto classe que o representa simbolicamente. A forma primária é escolhida entre as 24 formas normais (considerando as doze transposições acrescidas das doze transposições da sua inversão de eixo zero) dos conjuntos membros que pertencem a esse conjunto-classe, sendo aquela que começa pelo elemento 0 e tem o intervalo mais pequeno entre os seus dois primeiros elementos. Por exemplo, o conjunto-classe ao qual o acorde perfeito maior pertence tem dois conjuntos-membros começando por 0: (0, 3, 7) e (0, 4, 7). Porém, a sua forma primária será [0, 3, 7] uma vez que só assim se obterá o menor intervalo entre os seus dois primeiros elementos. A forma primária é habitualmente indicada entre parêntesis retos.
GRAU DE SIMETRIA »»» O grau de simetria de um conjunto indica o número de operadores de transposição e/ou inversão que transformam esse mesmo conjunto em si próprio.
GRUPO CANÔNICO DE OPERADORES »»» Conjunto de operadores que transformam um conjunto de elementos noutro conjunto de elementos, estruturalmente equivalentes entre si.
INTERVALO-CLASSE »»» É o intervalo mais pequenos existente entre duas classes de altura, independentemente de qual delas é a mais aguda e qual a mais grave. Por exemplo, o intervalo-classe entre dó e sol é |5| (i.e., de quarta perfeita), pois esta é a distância mais curta entre estas duas notas.
INTERVALO ORIENTADO »»» Intervalo entre dois elementos, com um sentido específico (do grave para o agudo ou do agudo para o grave). O intervalo orientado ascendente entre sol e dó é 5, sendo que o intervalo orientado descendente entre dó e sol é de -5.
INVARIÂNCIA »»» Um ou mais elementos são invariantes quando permanecem inalterados após a aplicação de uma transformação ao conjunto que os contém, ou seja, as invariâncias são os elementos comuns entre dois conjuntos relacionados por um operador. As invariâncias mais comuns verificam-se com os operadores de transposição e inversão.
OPERADOR »»» Aplicação que transforma um elemento ou conjunto de elementos. Os principais operadores nos conjuntos não ordenados são a transposição, a inversão e a multiplicação. Os operadores podem ser ainda compostos se resultantes da combinação de dois ou mais operadores.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA »»» Corresponde à equivalência de oitava, sendo no sistema numérico utilizado, representada matematicamente pelo módulo doze, i.e., resto da divisão inteira por doze quando se trate de números positivos, sendo os números negativos previamente convertidos no seu segundo complemento matemático.
VETOR INTERVALAR »»» É uma listagem do número de vezes que cada intervalo-base aparece entre os diversos elementos de um conjunto. Este vetor tem seis entradas, indicando, da esquerda para a direita, o número de vezes que os intervalos-classe |1| a |6| surgem no conjunto considerado. Este vetor intervalar consta das tabelas relativas às formas primárias existentes, também conhecidas como tabelas de Forte.
